Magie van getallen 2: uit de schatkamer van de getallentheorie

Getallen hebben mensen altijd gefascineerd. De Griekse filosoof Plato (427-347 v. Chr.) noemde de studie van de getallen de hoogste vorm van kennis, en boven de ingang van zijn Academie in Athene stond (zo zegt toch een hardnekkige legende) de spreuk “Ageometrètos mèdeis eisitoo” – wie niets van wiskunde kent, blijft hier beter weg.

 

Houtsnede met beelden van Pythagoras, in de weer met klokken, een soort glazen xylofoon, een monochord en (orgel)pijpen.
Bron: Theorica musicae door Franchino Gaffurio, 1492, publiek domein.

 

Plato was zelfs niet de eerste. Pythagoras (Samos, 570-490 v. Chr.) en zijn volgelingen bestudeerden de (natuurlijke) getallen met een aan religiositeit grenzende verwondering. Ze luisterden naar de muzieknoten die ontstonden bij snaren van verschillende lengte of door het tikken tegen vazen met verschillende hoeveelheden water, en ze ontdekten dat er mooie verhoudingen bestonden tussen hoeveelheden die harmonische noten voortbrachten. Twee gelijke vazen klonken in harmonie als de ene vaas dubbel zoveel water bevatte als de ander. Dat herkennen we vandaag de dag nog steeds in onze definitie van octaven in de muziek. Voor een zuivere kwint (bv. een do en een sol) is de verhouding tussen de betrokken noten 3:2 en voor een zuivere kwart (bv. een do en een fa) 4:3.

Twee do’s in octaaf. Volgens de fysica van geluid trilt de lucht dubbel zo snel bij de hogere do als bij de lagere.
Bron: Sushant savla en Koobak, Wikimedia, CC BY-SA 3.0

 

Met eenzelfde ijver, en (misschien) met een tikje minder mystiek, zoeken ook de wiskundigen van vandaag naar structuur in de reeks van de getallen. De befaamde verzameling van de priemgetallen is wellicht de belangrijkste en meest onderzochte groep. Ook bij het begrip palindroomgetallen kunnen we ons nog wel wat voorstellen. Maar wat zijn narcistische getallen, perfecte, gelukkige en ongelukkige getallen, apocalyptische getallen, vampiergetallen ... Tijd voor een kort overzicht!

Zo zijn er drie soorten getallen die zijn bedacht door de Indische recreatief-wiskundige Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986). De eerste soort is meteen naar hemzelf genoemd: een Kaprekargetal is een getal waarvan het kwadraat in twee kleinere getallen kan worden gesplitst (met elk evenveel cijfers als het originele getal) die bij optelling weer dat originele getal tevoorschijn halen.

7032 = 494 209, en 404 + 209 = 703

52922 = 28 005 264, en 28 + (00)5264 = 5292

Is een getal een veelvoud van de som van zijn cijfers, dan is het een harshadgetal (en die naam is afgeleid van het woord harshad, wat Sanskriet is voor “grote vreugde”). 18 is een harshadgetal, want 1 + 8 = 9, en 18 is deelbaar door 9. 99 is dat niet, want 9 + 9 = 18, en 99 is niet deelbaar door 18.

De derde soort zijn de self-getallen (en heten ook wel eens Devlaligetallen naar de woonplaats van Kaprekar). Dat zijn gehele getallen zijn die men NIET kan vinden door een willekeurig getal te nemen en daar de som van de cijfers van dat getal bij op te tellen. door een ander nummer te nemen en er eigen cijfers aan toe te voegen. Zo is 27 GEEN self-getal, vermits 18 + 1 + 8 = 27, maar 31 of 20 zijn dat bijvoorbeeld wel.

6174 is daarnaast ook bekend als de constante van Kaprekar. Het is een harshadgetal (want 6174 = (6 + 1 + 7 + 4) x 343, maar er is meer aan de hand. Wanneer men van eender welk viercijferig getal de cijfers van groot naar klein ordent, en daar het getal aftrekt waarbij diezelfde cijfers van klein naar groot geordend staan), en men herhaalt deze stap op het resultaat van die aftrekking, dan komt men vroeg of laat uit op 6174. Immers:

7641 – 1467 = 6174

en dat leidt dan tot een oneindige loop van telkens dezelfde bewerking. We raden de lezer aan om het zelf eens te proberen met 2324

4322 – 2234 = 2088

8802 – 0288 = …

en voor wie daarvoor computerhulp zoekt zijn hier (https://www.geeksforgeeks.org/kaprekar-constant/) nog wat codevoorbeelden. Overigens is 6174 ook gelijk aan 181 + 182 + 183, maar dat had u al lang zelf gezien, uiteraard.

---oOo---

Het n-de taxicab-getal  (symbolisch voorgesteld als Ta(n)) ishet kleinste natuurlijke getal dat op n verschillende manieren kan geschreven worden als de som van twee positieve derdemachten. Zo is Ta(1) gelijk aan 2, want 2 is het kleinste getal dat maar op één manier kan geschreven worden als de som van twee derdemachten, namelijk 13 + 13.

Ta(2) is gelijk aan 1729, en dat is meteen het getal dat aanleiding heeft gegeven aan de bijzonder spitsvondige naam van deze groep getallen. Toen de Britse wiskundige Godfrey Harold Hardy zijn collega Srinivasa Aaiyangar Ramanujan opzocht in het ziekenhuis, zei hij bij aankomst tegen zijn zieke vriend, dat de taxi waarmee hij was gekomen toch maar een saai kengetal had, namelijk 1729. Ramanujan antwoordde hierop dat hij het daarmee zeker niet eens kon zijn, want "het is het kleinste getal dat op twee verschillende manieren als de som van twee positieve derdemachten kan worden uitgedrukt". Inderdaad,

1729 = 13 + 123 maar is ook 93 + 103

Voor wie op zoek wil gaan naar grotere taxicabgetallen - Ta(3) is al het impressionante getal 87 539 319. Het grootst bekende is Ta(6), en vanaf dan raden we een sterke computer aan voor wie op zoek wil naar nog grotere voorbeelden. Er blijken wel oneindig veel van die taxicabgetallen te zijn, en dat was reeds bewezen door de Fransman Pierre de Fermat.

---oOo---

Anderen schreven getallen emoties toe, en een hele psychologie zelfs. Zo is een odious getal (letterlijk vertaald een hatelijk getal) is een natuurlijk getal waarvan de binaire schrijfwijze een oneven aantal enen heeft. De natuurlijke getallen die geen odious getal zijn, heten evil getallen. Van die getallen heeft de binaire schrijfwijze een even aantal enen. Zo wordt 2 in het binair talstelsel voorgesteld als 10. En dat heeft slechts één 1, en is dus odious. 128 wordt 10000000 in binaire voorstelling, en is dus ook odious. Net als alle andere machten van twee trouwens. 7 komt overeen met het binaire 111 (weer odious), maar 123 = 01111011, is evil. Voor wie het zich afvraagt: oneven is odd in het Engels (vandaar odious), en even… is even.

---oOo---

Een narcistisch getal is  een getal dat de som is van zijn eigen cijfers verheven tot de macht van het aantal cijfers. Het klassieke voorbeeld hier is

153 = 13 + 53 + 33

Er zijn slechts 89 narcistische getallen met in het decimale talstelsel (basis 10), en het grootste daarvan heeft 39 cijfers: 

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

 

De dichter Ovidius verhaalt in zijn Metamorphoses hoe de jongeling Narcissus, hopeloos verliefd… op zichzelf, zich niet kan losrukken van zijn eigen spiegelbeeld in een bergmeertje. Hij sterft daar van ontbering, betoverd door zijn eigen schoonheid, waarna Aphrodite, de godin van de liefde, hem verandert in een gele bloem met witte blaadjes. Kan het mooier?
Schilderij van John William Waterhouse uit 1903, publiek domein

http://www.allartpainting.com/echo-and-narcissus-p-16444.html

 

---oOo---

Ook uit de meetkunde komen mooie voorbeelden. Het nde Catalangetal is het aantal manieren waarop een n+2-hoek in verschillende driehoeken kan worden verdeeld. Het eerste Catalangetal is dus 1, want dat is het aantal driehoeken waarin we een 1+2-hoek… een driehoek kunnen verdelen. Een 2+2-hoek (een vierhoek) kunnen we op twee manieren opdelen in 2 driehoeken. Een vijfhoek delen we op 5 manieren op in driehoeken (zoals op de figuur), en voor het verdelen van een zeshoek bestaan er maar liefst 14 manieren – en ook dit bewijs laten we graag over aan de lezer. Hogere Catalangetallen zijn 42, 132, 629, 1430, 4862, 16790...

 

Een vijfhoek kan je op vijf verschillende manieren in driehoeken versnijden. Publiek domein.

 

---oOo---

En tot slot (van deze kleine opsomming, maar wees gerust, er bestaan nog vele andere soorten getallen) zijn er nog de vampiergetallen. Die kunnen geschreven worden als het product van twee getallen die samen uit dezelfde cijfers bestaan. Die twee getallen heten dan de fangs (de op bloed beluste scherpe hoektand van de duistere creaturen).  

1827 = 21 x 87

1435 = 35 x 41

371893 = 383 x 971

 

Een priemvampiergetal is een vampiergetal waarbij de fangs de priemdelers van het getal zijn.

117067 = 167 x 701

 

(94 892 254 795×1045 418 + 1)2 is overigens het grootste priemvampiergetal, en werd ontdekt door Jens K. Andersen in 2002.

Een kwadratisch priemvampierengetal is het kwadraat van twee priemdelers (en uiteraard ook een vampierengetal):

 2 459 319 153 459 529 = (49 591 523)2

 

Wie meer wil weten over deze bovenaardse wiskundige gedrochten, kan hier terecht: http://primerecords.dk/vampires/.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, te vinden op Spotify en op Libsyn.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting

Geplaatst door Geert op 02/02/2020 om 14:40