De natuur kan niet zonder de wiskunde

Een eerste zaak die opvalt, is dat de natuur heel wat wiskundige concepten in de praktijk brengt. Wellicht het bekendste voorbeeld is de Vitruvische man – de tekening van Leonardo da Vinci waarin een menselijk lichaam zowel door een vierkant als een cirkel omschreven kan worden. Maar er schuilt nog een pak meer wiskunde tussen hemel en aarde...

De Vitruvische man van Leonardo da Vinci.
Interessante vraag: hoe ver wijkt het echte menselijke lichaam
(dat van de leerlingen in de klas) af van dit renaissance-ideaal?
(Afbeelding in publiek domein)

 

Perfect natuurlijke maten

Een eerste natuurlijke maat is de gulden snede. Dit is in essentie een wiskundig getal, dat in eerste instantie de verhouding weergeeft tussen de lengte van twee lijnstukken a en b

waarvoor geldt dat

De gulden snede, a/b, wordt ook aangeduid met de Griekse letter phi (φ). Geliujkaardige verhoudingen vinden we ook inhet pentagram hieronder:

De gulden snede in een pentagram
(Bron: Jamiemichelle at English Wikipedia, publiek domein)

Met φ = a/b wordt dit:

wat hetzelfde is als de tweedemachtsvergelijking

met als oplossingen

En vervangen we in de vergelijking φ = 1 + 1/φ de φ in het rechterlid weer door 1 + 1/φ, dan krijgen we:

Kunstliefhebbers en amateurfotografen zijn wellicht al langer vertrouwd met de gulden snede als de ideale verhouding tussen verschillende onderdelen van een kunstwerk of een geslaagde foto. Salvador Dali ging bijvoorbeeld bewust aan de slag met gulden verhoudingen. Nochtans werd de gulden snede voor de negentiende eeuw nergens in verband gebracht met de kunsten, ideale vormen of ideale verhoudingen. 

De eerste geschreven definitie van wat we nu als gulden snede benoemen komt – hoe kan het ook anders – uit de Elementen van Euclides (Boek VI, definitie 3): “Een recht lijnstuk is gesneden volgens de extreme en gemiddelde verhouding (n.v.d.r. de gulden snede) wanneer de verhouding tussen het hele lijnstuk  en het grootste deel gelijk is aan die tussen het grootste en het kleinste deel.” De benaming extreme en gemiddelde verhouding blijft nog eeuwen in zwang. In 1509 wijdt de Italiaanse wiskundige Luca Pacioli een volledig boek aan de gulden snede: De divina proportione, Over de goddelijke verhouding. Niet veel later, in 1597, berekent Michael Mestlin`, wiskundige aan de Universiteit van Tübingen voor het eerst een decimale benadering van 1/φ. De term gulden snede zelf ziet pas het licht in 1830 en is van de hand van de Duitser Marthin Ohm.

Vanaf toen ging men verder dan louter de wiskunde. De Duitser Adolf Zeising haalt in zijn boek Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers (1854) aan dat het ideale menselijke lichaam volledig volgens de guldensnedeverhouding is opgebouwd. Ook de beelden die Phidias maakte in het Parthenon worden door sommigen in verband gebracht met de gulden snede – wat meteen leidde tot het gebruik van het symbool φ, de initiaal van Phidias.

Logaritmische spiraal en gulden snede

Een logaritmische spiraal is een meetkundige figuur waarbij de afstand tot de oorsprong met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd voor een welbepaalde draaihoek, of nog, in poolcoördinaten: de toename van de straal is evenredig met de voerstraal zelf, met als gevolg dat de straal een exponentiële functie van de hoek is:

ofwel

Wanneer dan ook nog eens geldt bij θ=π/2 rad , dat

of

m.a.w., als parameter b gelijk is aan de verhouding tussen de natuurlijke logaritme van de gulden snede en een rechte hoek, dan spreken we van een gulden spiraal.

Soms zijn wetenschappers in hun enthousiasme te snel, en zien ze allerlei verhoudingen waar die er niet zijn. Een schoolvoorbeeld van de gulden snede in de natuur was tot op de dag van heden de schelp van de nautilus. Nautilussen behoren tot de inktvissen (Klasse Cephalopoda). Ze vormen een opgewonden schelp, en hebben een prominent hoofd met tot negentig tentakels (zonder zuignappen zoals bij de octopus). Naarmate het dier groeit, sluit het regelmatig de oudere delen van de schelp af, en vormt een nieuwe, grotere leefkamer. De schelp van volwassen dieren kan tot dertig van dergelijke kamers bevatten. Snijdt men deze schelp middendoor zoals op de figuur te zien, dan zijn de verschillende kamers zichtbaar. Volgens velen volgt dit patroon een logaritmische spiraal, zelfs een gulden spiraal.

De Nautilus-schelp (Publiek domein)

Clement Falbo mat in 1999 echter een groot aantal nautilusschelpen op, en kwam tot de vaststelling dat de bejubelde gulden spiralen niet te vinden waren. De opgemeten verhoudingen lagen tussen 1,24 en 1,43 en niet 1,618... – of, zoals de onderzoeker zelf stelde: “Een schelp die de gulden snede zelfs nog maar op 2% na zou benaderen, zou eerder een rariteit zijn.” Of hoe wat iedereen gelooft, daarom nog niet waar is.

Knutselen met konijnen: Fibonacci-getallen

Hoe snel kweken konijnen onder ideale omstandigheden ? Dat was de vraag die de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci zich stelde bij het begin van de dertiende eeuw.

Het eigenlijke vraagstuk bevat nog enkele randvoorwaarden en aannames: Om te beginnen vertrekken we van een pasgeboren koppeltje. Na één maand is dit geslachtsrijp ; na nog één maand komt er dan een nieuw konijnenkoppel bij. Daarnaast nemen we aan dat de konijnen nooit doodgaan, en dat er telkens een koppeltje geboren wordt van één rammelaar (mannetje) en één voedster (wijfje). Hoeveel paren zijn er dan na een jaar ?

  • Na één maand paart het originele koppel. Er is nog steeds slechts 1 paar.
  • Na de tweede maand is een tweede koppel geboren. Er zijn nu twee paren. Het originele koppel paart opnieuw.
  • Na drie maanden werpt het originele wijfje opnieuw. Het tweede koppel paart. Er zijn nu drie koppels.
  • Na vier maanden werpen de wijfjes van koppels 1 en 2. Deze koppels en koppel 3 paren. Er zijn nu 5 koppels.
  • Na vijf maanden werpen de wijfjes van koppels 1, 2 en 3. Ze paren opnieuw, samen met de koppels die vorige maand geboren werden. Er zijn nu 8 koppels.

Dit kan nog even doorgaan, en we komen dan uit bij de volgende rij: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …, de zogenaamde Fibonacci-getallen. Hierbij is elk getal de som van de twee vorige (en zijn de eerste twee elementen in de rij gelijk aan 1). Dat is echter niet alles. Als we de verhouding nemen tussen twee opeenvolgende Fibonaccigetallen, en we nemen hiervan de limiet, dan komen we uit op... jawel, 1/φ !

Reken maar na:

Meetkunde in de vrije natuur

Fibonacci-getallen beschrijven heel wat meer dan enkel het kweken van en door konijnen. Een onverwachte plaats om Fibonacci-getallen tegen te komen zijn bijvoorbeeld bladeren en bloemen. Kijken we bijvoorbeeld naar de onderlinge stand van de schubben van een dennenappel. Deze schubben staan geordend in spiralen: een bepaald aantal in de ene richting; en een bepaald aantal in de andere richting. Deze spiralen verschillen niet veel van die van een gouden spiraal. De getallen 8 en 13 zijn twee opeenvolgende elementen van de Fibonaccirij. Een soortgelijk verschijnsel treedt op bij de deelbloemen van zonnebloemen, ditmaal met de paren van gehele getallen (21,34), (34,55) en (55, 89). Elk van deze paren komt overeen met twee opeenvolgende gehele getallen van de Fibonaccirij.

  

Links: Zonnebloem (Bron: Clay Junell, Flickr, CC BY-SA 2.0)
Rechts: Romanesco-kool (Bron: Rum Bucolic Ape, Flickr, CC BY-ND 2.0)

Meten we de positie van de bladeren in verspreide bladstand, dan ontdekken we dat opeenvolgende bladeren ten opzichte van mekaar draaien in een hoek van 137,5°. In verhouding tot de hele cirkel geldt dan dat

Juist, ja. De gulden snede.

Een echt goeie verklaring waarom φ hier opduikt, heeft nog niemand echt gegeven.

Geplaatst door Geert op 25/08/2016 om 23:29