Hart van de Materie 13: Atoomstructuur en kwantummechanica 2: Schrödinger stuurt zijn kat (niet)

The human understanding is like a false mirror, which, receiving rays irregularly, distorts and discolors the nature of things by mingling its own nature with it.

Francis Bacon

Denk je een wereld in waar het onmogelijk is om te weten waar je je bevindt, maar waar je je van het ene moment op het andere kan verplaatsen naar een verre bestemming. Een wereld waarin je dwars doorheen een muur kan gaan en aan beide zijden tegelijk kan bestaan. Een wereld waarin het feit dat je iets ziet, datgene wat je ziet doet veranderen. En, ten slotte, een wereld waarin alles mogelijk is, tot de boel instort en er slechts één werkelijkheid overblijft.

Onmogelijk? Sciencefiction? Niets is minder waar. Dit zijn allemaal fenomenen die het gevolg zijn van zeer goed onderzochte natuurwetten, die in talloze theoretische bespiegelingen en in nog meer experimentele situaties hun geldigheid keer op keer bewijzen. Het zijn de wetten die we vooral leren kennen wanneer we het gedrag van atomen en subatomaire deeltjes bestuderen: niet dat ze niet geldig zijn op “onze schaal”, maar daar hebben we eenvoudiger wetten voor (die wiskundig gezien vaak speciale gevallen zijn van de kwantumwetten): de gewone klassieke mechanica. Hier en daar zullen we het verband tussen de wereld van de subatomaire deeltjes en onze eigen leefwereld wel wat meer in de verf zetten.

Je merkt al meteen dat we niet altijd op onze intuïtie zullen kunnen terugvallen. Meer nog - zelfs een echte specialist, Richard Feynman, de Nobelprijswinnaar voor Natuurkunde in 1965, zei over de kwantummechanica: “I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics. (Ik denk dat ik met zekerheid kan zeggen dat niemand kwantummechanica begrijpt.)” Dat belooft.

Foto: bron: Bill Burris, Flickr, CC BY-SA 2.0

Enkele begrippen uit de kwantummechanica

Een van de belangrijkste wetenschappelijke omwentelingen in de twintigste eeuw is ongetwijfeld de kwantummechanica. Deze theorie tracht fysische fenomenen te verklaren op atomaire en subatomaire schaal, door zich te focussen op de eigenschappen van de elementaire deeltjes op die schaal. De kwantummechanica ontleent zijn naam aan het feit dat grootheden zich op die schaal enkel kunnen manifesteren in vaste en discrete hoeveelheden, kwanta, vaak gekoppeld in grootte aan de constante h (= 6,626·10-34 J.s) van Max Planck. We hadden het in de vorige episode al over Planck’s gekwantiseerde energie.

De kwantummechanica is op nog een aantal moeilijk voorstelbare, maar wel fundamentele concepten gestoten. Zo heeft zij het volgende moeten vaststellen:

  • Materie heeft een dubbel, tweeledig karakter en is zowel golf als deeltje. Dit is het principe volgens hetwelk alle objecten op atomaire en subatomaire schaal zowel eigenschappen vertonen van golven en van ‘harde’ deeltjes. Dit concept gaat terug op de discussie over de natuur van een lichtstraal uit de zeventiende eeuw. Volgens Christiaan Huygens bestond licht uit golven, terwijl Isaac Newton volhield dat licht bestond uit een reeks deeltjes. Werk van Albert Einstein, Louis de Broglie en anderen toonde echter aan dat licht eigenschappen van beide vertoont. Meer nog – dit geldt voor alle elementaire deeltjes.
  • Kwantumverstrengeling: Ruimtelijke scheiding tussen twee deeltjes wil nog niet zeggen dat de kwantumtoestanden van beide deeltjes ook geheel onafhankelijk zijn van elkaar. Twee verstrengelde systemen S1 en S2 vertonen onderlinge correlaties tussen eigenschappen die er niet zouden zijn als beide systemen volledig los van mekaar hadden mogen gezien worden. Bijgevolg mogen dergelijke systemen nooit los van elkaar worden beschouwd, zelfs niet als ze door grote afstanden gescheiden zijn. Ze bestaan in essentie als een gezamenlijk systeem {S1+S2}.
  • Het bestaan van gesuperponeerde toestanden. Maar om dat uit te leggen, stuur ik eerst even mijn kat langs.

Over superpositie en ineenstortende katten: de golffunctie van Schrödinger

Als kwantumdeeltjes dan toch ook een golfkarakter hebben, dan moeten ze via een golfvergelijking kunnen beschreven worden. Die vergelijking werd in 1925 door de Oostenrijker Erwin Schrödinger naar voren geschoven, om daarmee de beweging van een golf/deeltje te kunnen berekenen. Deze vergelijking steunt op de theorie van de complexe getallen en is het best bekend als differentiaalvergelijking van de tweede orde. De onderliggende wiskunde laten we best even voor wat ze is, en we richten ons op de fysische betekenis.

Wiskunde of niet, het is de moeite waard om de vergelijking eens van naderbij te bekijken. Om te beginnen is er de te berekenen golffunctie zelf.
Wie voor een gegeven probleem de juiste uitdrukking vindt voor deze golffunctie, heeft de oplossing van het probleem gevonden. We duiden haar aan met de Griekse letter psi. Verder gaan we ervan uit dat die golf zich slechts in één richting (x) voortbeweegt: de vergelijking bevat enkel de tweede afgeleide van psi in functie van x. Beweegt de golf zich in drie richtingen (x, y en z), dan zal de vergelijking de som van de tweede afgeleiden van psi naar x, y en z apart bevatten. E en V zijn verder de symbolen voor respectievelijk de totale energie en de potentiële energie van de golf/het deeltje waar de vergelijking voor wordt opgelost. Figuur: MeNS 89

 

Schrödinger realiseerde zich namelijk nog meer. Volgens de wiskundige theorieën van Joseph Fourier (1768-1830) bestaat namelijk elke functie, zoals dus ook onze golffunctie y, uit een combinatie van verschillende eenvoudige (periodieke) sinus- en cosinusfuncties.

Fourier-analyse: hoe een blokgolf kan bestaan als een superpositie (som) van eenvoudige (co)sinusfuncties. Figuur: MeNS 89

.

Deze wiskundige rekentechniek krijgt van Schrödinger nu echter ook een fysische betekenis: we spreken over de superpositie van deze eenvoudige periodieke functies die leidt tot de meer ingewikkelde golffunctie y. Elke individuele periodieke component komt daarbij overeen met één mogelijke toestand van het hele systeem dat we bestuderen. Bovendien zijn de verschillende periodieke componenten harmonische veelvouden van elkaar: hun frequenties verhouden zich tot elkaar als gehele getallen. En die gehele veelvouden komen ons bekend voor: hier duiken opnieuw de kwanta van Planck en Einstein op!

Door de inspanningen van Schrödinger (en al wie na hem verder nadacht over het gebruik van golffuncties om het gedrag van kwantumdeeltjes te beschrijven) heeft de kwantummechanica ook de naam golfmechanica gekregen. 

 

                                             

   

Erwin Schrödinger (12 augustus 1887, Wenen, Oostenrijk-Hongarije - 4 januari 1961, Wenen, Oostenrijk)
kreeg in 1933 de Nobelprijs voor Natuurkunde omwille van zijn bijdrage aan de kwantummechanica via zijn golfvergelijking.

De man startte zijn academische carrière als natuurkundestudent aan de Universiteit van Wenen tussen 1906 en 1910, het jaar waarin hij zijn doctoraatswerk Über die Leitung der Elektrizität auf der Oberfläche von Isolatoren an feuchter Luft verdedigde.  Hij werd er vervolgens assistent van Prof. Franz Exner tot aan de Eerste Wereldoorlog. Tijdens de oorlog diende hij in het Oostenrijkse leger als officier in de artillerie, tot hij in de lente van 1917 werd teruggestuurd naar Wenen om er een cursus meteorologie te geven. In 1920 werd hij aangesteld als assistent van Max Wien in Jena. In hetzelfde jaar verbleef hij nog enige tijd als ausserordentlicher Professor in Stuttgart; het jaar nadien werd hij ordentlicher Professor (hoogleraar) in Breslau (thans Wroclaw in Polen). Zijn werk in de kwantummechanica leverde hij echter vooral tijdens zijn aanstelling aan de Universiteit van Zürich (en zelfs meer bepaald in het sanatorium in Arosa, waar hij verbleef om te genezen van aanvallen van tuberculose). Bovendien trouwde hij dat jaar (op 6 april 1920) met Annemarie Bertel. Niet dat Erwin Schrödinger er een conventioneel huwelijksleven op nahield. Beide echtelieden hadden openlijk verhoudingen, en toen het echtpaar tijdens de Tweede Wereldoorlog in Dublin verbleef, leefde zijn maitresse Hilde March gewoon bij hen in.

In 1927 verhuisde Schrödinger naar Berlijn, als opvolger van Max Planck aan de Friedrich Wilhelm University in Berlijn. Hij had echter een afkeer van het antisemitisme van de Nazi’s en verhuist in 1934 naar Oxford. Niet lang daarna mocht hij de Nobelprijs ontvangen, die hij deelde met Paul Dirac (zie later). De man keerde terug naar zijn geboorteland in 1936 (waar hij een aanstelling kreeg aan de Universiteit van Graz), maar zijn politieke standpunten bleven hem daar parten spelen. Hij werd afgedreigd en kreeg verbod om het land nog te verlaten, maar hij slaagde erin om met zijn vrouw naar Italië te vluchten. Via korte perioden in Oxford en Gent kwam de geleerde terecht in Dublin, op persoonlijke uitnodiging van de Ierse Taoiseach (Eerste Minister) Éamon de Valera. Erwin Schrödinger hielp er om het Institute for Advanced Studies op te richten, werd er hoofd van de School for Theoretical Physics in 1940 (een positie die hij 17 jaar lang zou bekleden) en werd zelfs Iers staatsburger in 1948. Pas in 1950 nam hij opnieuw een taak op in zijn geboorteland (een gastprofessorschap aan de Universiteit van Innsbruck). In 1956 keerde Schrödinger voorgoed terug naar zijn Alma Mater in Wenen.

Erwin Schrödinger stierf op 4 januari 1961 aan tuberculose. Hij ligt begraven in het Tirolerdorpje Alpbach, waar hij zijn laatste levensjaren sleet.

Bron: links: Robertson, Smithsonian Institute, Publiek domein. Rechts: Publiek domein

 

Biljet van 1000 Oostenrijkse Schilling (geldig tussen 1983 en 1998) met de beeltenis van Schrödinger op. Bron: Österreichische Nationalbank – Publiek domein

Schrödinger was wellicht een van de grootste intellectuelen van de twintigste eeuw. Hij had een universele interesse, sprak naast zijn moedertaal nog vloeiend Engels, Frans, Italiaans en Spaans, las vlot in het Latijn en het oud-Grieks, genoot van de grote werken uit de wereldliteratuur (en het liefst nog in de originele taal) en heeft een reeks niet onverdienstelijke gedichten nagelaten. Hij was atheïst, maar had en diepgaande interesse in de oosterse religies. Ook de filosofie had een bijzondere invloed op de man. Door de lectuur van de filosofische werken van Arthur Schopenhauer was Schrödinger geboeid geraakt door kleuren en kleurentheorie. Hij geloofde ook in een hiërarchische organisatie van ons begrip van de werkelijkheid, met de fysische beschrijving ervan op een lager niveau dan het filosofische inzicht in de wereld rondom ons. Om de man zelf aan het woord te laten: 

It seems plain and self-evident, yet it needs to be said: the isolated knowledge obtained by a group of specialists in a narrow field has in itself no value whatsoever, but only in its synthesis with all the rest of knowledge and only inasmuch as it really contributes in this synthesis toward answering the demand, "Who are we?"

Schrödinger in Science and Humanism (1951)

Voorpagina van Erwin Schrödingers boek What is Life? The Physical Aspect of the Living Cell (Cambridge: University Press, 1948)

In 1944 schreef Schrödinger het boek What is Life? waarin hij vanuit zijn achtergrond als natuurkundige probeert te komen tot een discussie van het begrip leven. De ideeën die hij daarin uitwerkt, rond mutaties, de moleculaire kant daarvan en rond de rol van entropie (wanorde), spannen een brug tussen de natuurkunde en de ontluikende moleculaire biologie. Het werk was een van de grote bronnen van inspiratie voor Watson, Wilkins en Crick bij hun zoektocht naar de structuur van DNA.

Schrödingerkrater op de maan.

Bron: NASA, Clementine-missie. Publiek domein

 

 

Golven en waarschijnlijkheid

Wat betekent dit alles nu? Hoe moeten we die vreemde golffuncties interpreteren? Wat leren ze ons nu echt over de fysische werkelijkheid op subatomaire schaal? Dit is een vraag waar de fysica tot op vandaag nog niet helemaal uit is. Schrödinger zelf dacht dat elke golf zich in de hele ruimte zou uitstrekken. Dit bleek echter niet overeen te stemmen met heel wat experimentele waarnemingen.

De meest gevolgde interpretatie is die van de Duitser Werner Heisenberg en de Deen Niels Bohr (en wordt omwille van de plaats waar deze laatste werkte wel de Kopenhageninterpretatie genoemd). Zijn visie over de betekenis van de golffunctie vertrekt van een fysisch kenmerk van golven, namelijk dat de amplitude van de golf in het kwadraat evenredig is met de intensiteit (energie-inhoud) van de golfbeweging. In de kwantummechanica beschouwen we het kwadraat van de amplitude van de golffunctie op een bepaalde plaats, gelijk aan de kans dat het golf/deeltje zich op die bepaalde plaats bevindt. In tegenstelling tot de klassieke mechanica, waarbij we op een deterministische (dus rechtstreeks berekenbare en exacte) manier de positie en de bewegingen van een deeltje kunnen bepalen, gaat het in de kwantummechanica slechts over de waarschijnlijkheid dat een deeltje zich op een bepaalde plaats bevindt. De vergelijking van Schrödinger beschrijft perfect deterministisch hoe die kansen verdeeld zijn over de ruimte waar dat deeltje in te vinden is, maar wanneer je een experiment doet om te zien waar het deeltje is, doe je een trekking uit die kansverdeling (dit noemen we stochastisch). Deze stap, de meting, is in de Kopenhageninterpretatie NIET deterministisch.

Meer nog – elke periodieke component van de golffunctie geeft telkens één mogelijke toestand van het deeltje weer. De gehele golffunctie, samengesteld uit al die componenten, is de superpositie van al die individuele mogelijkheden. Moeilijk? Ja. Maar laten we het twee-spletenexperiment nog eens anders bekijken. Zolang beide spleten open zijn, zijn ook beide trajecten (door de bovenste en door de onderste spleet) mogelijk. Elk van die trajecten komt overeen met één component van de algemene golffunctie. Deze twee componenten van de golffunctie kunnen elkaar beïnvloeden. Wanneer we met zekerheid te weten willen komen welk traject ons golf/deeltje effectief aflegt, telt nog slechts één component mee zodat er geen interferentie kan optreden. Fysici zeggen dan dat de hele set gesuperponeerde golven ineenstort tot één enkele mogelijkheid (in het Engels: collapse). De oorzaak van dit ineenstorten blijkt trouwens de meting zelf te zijn: door een van beide spleten te sluiten, weten we meteen waar de elektronen zich bevinden. Opnieuw schudt de kwantummechanica hier aan onze dagdagelijkse manier van denken: het uitvoeren van de meting, dus het verzamelen van informatie over een fenomeen, verstoort het fenomeen zelf! Of nog: door naar het systeem te kijken, veranderen we het vanzelf. Of, met een boutade: durft er nu nog iemand beweren dat vallende bomen ook geluid maken als er niemand ze kan horen?

 

Gesuperponeerde katten

De Kopenhageninterpretatie, waarin de fysica plots vol met waarschijnlijkheden zat, was niet makkelijk te verteren. Einstein had een dermate grote afkeer van het concept, dat hij zou hebben uitgeroepen: “Gott würfelt nicht!”, oftewel, God speelt niet met dobbelstenen. Bohrs antwoord aan Einstein was overigens bijzonder laconiek: “Stop met God te zeggen wat hij moet doen!”. Echter, Einstein stond niet alleen met deze gedachte. Ook Schrödinger zelf kon zich niet achter de Kopenhaagse gedachtengang zetten. Hij maakte dat duidelijk in 1935 aan de hand van wellicht een van de beroemdste gedachte-experimenten aller tijden: het verhaal over zijn kat.

Stel je voor, zegt Schrödinger, dat ik een kat opsluit in een doos, samen met een mechanisme dat bestaat uit een radioactief atoom, een geigerteller, een hamer en een flesje vergif. Die zijn op zulke wijze met elkaar verbonden, dat zodra het radioactief atoom vervalt en zijn radioactieve straling uitzendt (en de geigerteller die oppikt), er een signaal naar de hamer gaat, en deze het flesje vergif openbreekt. Wanneer het vergif zich in de doos verspreidt, sterft de kat ogenblikkelijk. Omdat het radioactief verval van een atoom een louter stochastisch proces is (we kunnen het exacte moment niet voorspellen), weten we niet wat er zich in de doos heeft afgespeeld. Op dat moment bestaat de kat in twee gesuperponeerde toestanden: dood en levend, naargelang het radioactieve verval heeft plaatsgehad of nog niet. Ook het atoom zelf bestaat trouwens in twee gesuperponeerde toestanden. Pas wanneer we de doos openmaken om te kijken hoe het met de kat gesteld is - met andere woorden, pas wanneer we een meting doen – zien we in welke van beide toestanden de kat zich bevindt: dood OF levend. De golffunctie stort dus ineen.

Schrödinger zelf had dit gedachtenexperiment eigenlijk geformuleerd om de absurditeit van de Kopenhageninterpretatie aan te tonen: hoe kan een kat nu dood EN levend tegelijkertijd zijn? Het antwoord op die paradox ligt in het feit dat de kat een macroscopisch wezen is. Om vanuit de microscopische schaal van het elektron over te gaan naar de macroscopische wereld zijn er massaal veel microscopische tussenschakels nodig. Elke tussenschakel heeft een golfkarakter. Maar door het optellen van een zulk groot aantal golven wordt het golfkarakter praktisch niet meer waarneembaar. In principe bestaan dus alle objecten van onze dagelijkse wereld uit een zeer groot aantal kleine deeltjes zoals elektronen, protonen enz…, die alle als golven bijdragen tot het geheel. Maar hun aantal is zo groot dat daardoor het golfkarakter verdwijnt. Het verschil tussen onze reële wereld en de microscopische wereld van de kwantummechanica is dus vooral een kwestie van schaal. Bovendien zit de onzekerheid over het lot van de kat niet bij het onfortuinlijke dier zelf, maar eerder bij de waarnemer. De lezer kan nu zelf bedenken, wat er zou gebeuren als de waarnemer mee in de doos zou zitten…

En hoe zit het nu met de kat zelf? Die doet sinds haar eerste avontuur, in de gedachten van Schrödinger, vooral dienst als didactisch model, om superpositie tastbaar te maken.

Conceptuele voorstelling van de kat van Schrödinger.
Figuur: bron: MeNS 89, naar Dhatfield, Wikipedia, CC BY-SA 3.0

In de woorden van de auteur zelf:

Man kann auch ganz burleske Fälle konstruieren. Eine Katze wird in eine Stahlkammer gesperrt, zusammen mit folgender Höllenmaschine (die man gegen den direkten Zugriff der Katze sichern muss): in einem Geigerschen Zählrohr befindet sich eine winzige Menge radioaktiver Substanz, so wenig, dass im Lauf einer Stunde vielleicht eines von den Atomen zerfällt, ebenso wahrscheinlich aber auch keines; geschieht es, so spricht das Zählrohr an und betätigt über ein Relais ein Hämmerchen, das ein Kölbchen mit Blausäure zertrümmert. Hat man dieses ganze System eine Stunde lang sich selbst überlassen, so wird man sich sagen, dass die Katze noch lebt, wenn inzwischen kein Atom zerfallen ist. Der erste Atomzerfall würde sie vergiftet haben. Die ψ-Funktion des ganzen Systems würde das so zum Ausdruck bringen, dass in ihr die lebende und die tote Katze (s. v. v.) zu gleichen Teilen gemischt oder verschmiert sind.

[Men kan zo vrij absurde voorbeelden uitwerken. Een kat is opgesloten in een stalen kamer, met de volgende installatie erbij afgeschermd tegen directe interventie van de kant van de kat): in een Geigerteller is er een klein beetje radioactieve stof, zo klein, dat misschien tijdens een volledig uur slechts één van de atomen vervalt, maar ook, met gelijke waarschijnlijkheid, misschien geen; als het gebeurt, dan springt het telbuisje aan en activeert het via een relais releases een hamer die een kleine kolf blauwzuur verbrijzelt. Als men dit hele systeem alleen laat voor een uur, kan men zeggen dat de kat nog leeft als intussen geen atoom is vervallen. De psi-functie van het gehele systeem zou dit zo uitdrukken, dat daarin de levende en dode kat (gratie de uitdrukking) in gelijke delen gemengd en bijeengevoegd bestaan.]

Tekst: bron: Schrödinger E (1935) Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, The Science of Nature 23, 807

De intellectuele omslag in het natuurkundige denken over de structuur van de materie die op die manier genomen is tijdens de Roaring Twenties, kan moeilijk worden overschat. Tot pakweg 1925 bestond de wereld uit een grote machine, gehoorzamend aan de wetten van Newton, en was het voldoende om te kunnen rekenen om de toekomst te voorspellen. Schrödinger en Heisenberg en hun collega’s transformeren haar in een groot kansspel, met waarschijnlijkheden als enige mogelijke benadering voor de werkelijkheid.

En zo zijn we voor een tweede maal bij Werner Heisenberg aanbeland…

Geplaatst door Geert op 29/04/2017 om 22:51