Hart van de Materie 14: Van Heisenberg naar Bohr: de elektronen vinden hun plaats

De hooikoorts van Heisenberg

We ontmoeten de jonge Werner Heisenberg in de Roaring Twenties, meer bepaald in 1922, op een congres in de Alpen. De ondertussen wijd en zijd beroemde Niels Bohr, die dat jaar overigens ook zijn Nobelprijs toegekend kreeg, sprak daar over zijn atoommodel, waarin elektronen als planeetjes rond de atoomkern cirkelden. Alleen – waarom en hoe elektronen meestal in hun baan bleven en af en toe van baan naar baan sprongen, kon Bohr niet verder uitleggen. De vragen van een jonge assistent in het publiek, Werner Heisenberg, bleven grotendeels onbeantwoord, ook na een wandeling die de twee maakten in de wijde omgeving. Heisenberg zelf getuigde later over die wandeling wel dat dat het moment geweest was waarop hij zijn wetenschappelijke carrière echt voelde beginnen. Maar zijn problemen met het model van Bohr raakte hij niet kwijt.

 

Werner Karl Heisenberg (5 december 1901, Würzburg, Koninkrijk Beieren, Duitse Keizerrijk - 1 februari 1976, München, Beieren, West-Duitsland)

De jongeman verhuisde in 1925 naar Göttingen, in Duitsland, op uitnodiging van Max Born. Hij pakte er het probleem van de atoombanen aan op een originele manier: in plaats van uit te gaan van concepten (zoals elektronenbanen) die niet konden gemeten worden, probeerde hij de toestand van de elektronen in een atoom enkel voor te stellen met meetbare waarden, zoals de frequenties van de lichtdeeltjes die worden uitgezonden wanneer elektronen van baan wisselen. Hij bracht al deze waarden netjes onder in tabellen, en deed hetzelfde voor een pak andere variabelen: posities van elektronen, impuls van elektronen, …Daarna begon hij ermee te rekenen, om te zien of hij ergens structuur kon vinden in de data. De grote doorbraak kwam er op 7 juni 1925. Als hooikoortslijder vond Heisenberg de lente en de zomer in Duitsland ondraaglijk, en hij was gevlucht naar Helgoland, een eiland in de Noordzee, waar hij gemakkelijker kon ademen, en doorwerken. Die nacht ontdekte hij echter, tot zijn grote verbazing, het volgende: als hij tabel A met de waarden van de posities van de elektronen vermenigvuldigde met tabel B met de waarden voor hun impuls, dan bekwam hij niet hetzelfde resultaat als wanneer hij tabel B vermenigvuldigde met tabel A. In symbolen uitgedrukt:

A x B ≠ B x A

Meer nog, het verschil tussen beide tabellen kwam steeds neer op h/4π! Bovendien voelde hij aan, dat dit inzicht hem in staat zou stellen om zijn problemen met het atoommodel van Bohr op te lossen. Wat een wetenschapper voelt wanneer hij een dergelijk inzicht bereikt? We laten Heisenberg zelf aan het woord: "It was about three o' clock at night when the final result of the calculation lay before me. At first I was deeply shaken. I was so excited that I could not think of sleep. So I left the house and awaited the sunrise on the top of a rock."

Bij zijn terugkeer in Göttingen legde Heisenberg zijn bevindingen voor aan Born. Die herkende dit soort problemen: dit had te maken met de wiskunde van matrices (een wiskundige manier om met tabellen om te gaan), waarbij inderdaad de commutativiteit niet geldt voor de vermenigvuldiging. Born haalde er zijn assistent Pascual Jordan bij, en met zijn drieën legden ze de basis voor wat later de matrixmechanica is gaan heten. Zo kwam de man tot het zogenoemde onzekerheidsprincipe van Heisenberg: Er bestaat een fundamentele onzekerheid die verhindert om tegelijkertijd twee gekoppelde grootheden exact te gaan bepalen. Meer bepaald is het onmogelijk om tegelijkertijd de exacte positie én de exacte snelheid van een voorwerp te kennen.

Wiskundig geformuleerd komt deze ontdekking neer op het volgende: wanneer we van een kwantumdeeltje de exacte positie x willen kennen, of de exacte impuls p, dan zal er telkens een mate van onzekerheid overblijven (in symbolen: Δx en Δp). Uit de ontdekking van Heisenberg weten we nu dat

ΔxΔp ≥ h/4π

Hoe zekerder je bent van de eerste waarde, des te minder zeker je kan zijn van de andere. De waarde h/4π dient hierbij als ondergrens. Vermits impuls p eigenlijk het product is van massa en shelheid, kan je evengoed zeggen, dat hoe beter je weet waar je bent, hoe minder goed je weet hoe snel je rijdt. Nu, voor iemand dit wil gebruiken om onder een boete voor te snel rijden uit te komen... doordat h zo klein is, is deze onzekerheid verwaarloosbaar klein op mensenschaal.

 

Heisenberg tijdens een college. Foto publiek domein.

 

De gevolgen van het onzekerheidsprincipe van Heisenberg gaan echter verder. Om te beginnen vertrekt Heisenberg van de stelling dat enkel meetbare gegevens en grootheden echt een betekenis hebben in de fysica. Wat we niet kunnen meten (of uit meetwaarden berekenen) heeft dus geen betekenis. Maar de toekomstige baan van een partikel zoals een elektron kunnen we niet (exact) meten, en evenmin (exact) berekenen. Wat er overblijft, zijn een reeks mogelijke beschrijvingen van die baan (met elk een waarschijnlijkheid die we uit de vergelijking van Schrödinger kunnen afleiden). Of om Heisenberg een laatste keer zelf het woord te geven: “In the sharp formulation of the law of causality - "if we know the present exactly, we can calculate the future" – it is not the conclusion that is wrong but the premise.” Niet de bewering dat we de toekomst kunnen berekenen is fout, wel dat we het heden perfect kunnen kennen.

 

Max Born (Breslau, 11 december 1882 – Göttingen, 5 januari 1970) was een Duitse, en later, vanaf 1933, een Britse wis- en natuurkundige.
In 1954 ontving hij de Nobelprijs voor Natuurkunde voor zijn waarschijnlijkheidsinterpretatie van de Schrödingervergelijking. Samen met zijn echtgenote ligt hij
begraven op de begraafplaats Stadfriedhof in Göttingen, met op zijn grafsteen de fundamentele vergelijking van de kwantummechanica.

Links: Max Born. Publiek domein - Rechts grafsteen van Max Born, Bron: Longbow4u, Wikimedia, CC BY-SA 3.0

 

De geboorte van de orbitalen

Heisenbergs onzekerheidsprincipe levert zo de genadeslag voor het atoommodel van Bohr. Het Bohrmodel behandelt het elektron als een miniatuur planeet, met duidelijke afstand tot de atoomkern en met een duidelijke impuls (massa maal snelheid). Nu afstand en impuls niet eens meer exact kunnen zijn, hoe zou de positie van de elektronen, de banen en schillen van Bohrs atoom dan exact bepaald kunnen worden?

Om te beginnen stappen we af van het beeld dat elektronen kleine balletjes zijn (deeltjes). Volgens de kwantummechanica zijn ze immers tegelijk een deeltje, maar ook een golfpakketje. Deze hypothese werd voor het eerst naar voren geschoven in de doctoraatsthesis van Louis de Broglie (uit 1924) en beperkt zich overigens niet tot fotonen en elektronen alleen. Alle vormen van materie vertonen tegelijk deeltjeseigenschappen en golfkenmerken.

Een golfpakketje voldoet ook perfect aan het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. Hoe beter de positie van zo een pakketje bekend is, hoe kleiner de golflengte van de golf zal moeten zijn. Alleen geldt meteen ook, dat hoe kleiner de golflengte van een golfpakketje wordt, hoe groter de energie wordt die erin opgeslagen zit. Energie en golflengte λ zijn immers omgekeerd evenredig. Een golfpakketje dat in een oneindig klein volume kan worden opgesloten (d.w.z. waarvan we de positie zeer goed kennen) bezit dan een oneindig hoge energie. En dat is nonsens.

 

 

Links: Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7e duc de Broglie (15 augustus 1892, Dieppe, Frankrijk – 19 maart 1987, Louveciennes, Frankrijk).
Hij mocht in 1929 de Nobelprijs voor Natuurkunde ontvangen, nadat zijn hypothese over het golf-deeltjesgedrag van materie in 1927
door de Amerikaanse onderzoekers Clinton Davisson en Lester Gerner experimenteel bevestigd werd. Foto publiek domein.
Rechtsboven: Abstract van de doctoraatsthesis van Louis de Broglie - Rechtsonder: Golfpakketje. Publiek domein

 

In de praktijk worden het model van Bohr en Sommerfeld, dat toch heel wat zaken kon verklaren, en de inzichten van de kwantummechanica verenigd in het nieuwe orbitaalmodel. Om te beginnen behield men de kwantumgetallen die Bohr en Sommerfeld hadden ingevoerd. Ze worden gebruikt om de oplossing van de Schrödingervergelijking uit te werken. De golffunctie ψ die Schrödinger had ingevoerd, wordt daarvoor uitgedrukt in zogenoemde sferische coördinaten: ψ(r,θ,φ) – geen slechte keuze, vermits atomen nu eenmaal bolvormen zijn, waarbij de energie van een elektron afhangt van de afstand r tussen het elektron en de kern.

 

Net zoals je een punt in de ruimte kan aanduiden met de Cartesiaanse coördinaten (x, y en z), kan je dat punt even eenduidig beschrijven
met de drie sferische coördinaten r, θ en φ. Hierbij is r de afstand tot de oorsprong van het assenkruis
en zijn θ en φ de hoeken tussen de assen en de rechte die de oorsprong met het punt verbindt. Figuur publiek domein.

 

Om het wiskundig uit te drukken, slaagde men er eerst en vooral in om die golffunctie Ψ(r,θ,φ) op te splitsen als het product van drie aparte deelfuncties R(r), Θ(θ) en Φ(φ) die elk slechts één variabele bevatten (respectievelijk r, θ en φ, de drie sferische coördinaten).

Ψ(r,θ,φ) = R(r) * Θ(θ) * Φ(φ)

De hoofdkwantumgetallen, nevenkwantumgetallen en magnetische kwantumgetallen duiken op als oplossing voor die deelfuncties R(r), Θ(θ) en Φ(φ). Elk van deze getallen heeft zijn eigen karakteristieke eigenschappen, hieronder samengevat.

Hoofdkwantumgetal n

  • Geheel getal: n = 1, 2, 3...
  • Bepaalt een energieniveau voor het elektron (de schillen van Bohr).
  • Controleert de grootte, de ruimtelijke uitdijing van de orbitaal: een orbitaal met hoofdkwantumgetal 2 is kleiner dan een gelijkaardige met hoofdkwantumgetal 4 bijvoorbeeld.

Nevenkwantumgetal l

  • Geheel getal tussen 0 en n-1
  • Bepaalt de algemene vorm van de orbitaal
  • Bepaalt een serie subschillen (de ellipsvormen van Sommerfeld):
    • s (sharp) voor l = 0 , en deze zijn bolvormig
    • p (principal) voor l = 1, en deze hebben een haltervorm
    • d (diffuse) voor l = 2
    • f (fundamental) voor l = 3

Magnetisch kwantumgetal m

  • Geheel getal tussen -l en +l
  • Bepaalt de oriëntatie van de atoomorbitaal
  • Voor l = 0, m = 0. Er is dus slechts een enkele oriëntatie mogelijk, 1 orbitaal s
  • Voor l = 1, m = -1 ; 0 ; 1.3 oriëntaties die overeenkomen met de drie assen van een 3d-systeem. De drie orbitalen p hebben een gelijke energie (px, py, pz).
  • Voor l = 2, m = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2. Er zijn dus vijf orbitalen mogelijk van de subschil d.

 

Hiermee kennen we nog niet de fysische betekenis van de orbitalen. Een interessante interpretatie steunt op de eerder besproken interpretatie van Kopenhagen, namelijk dat als we de golffunctie van een elektron kennen in een bepaalde zone, dan geeft het kwadraat van de waarde van die golffunctie aan wat de kans is dat dat elektron in die zone voorkomt. De kwantumgetallen die bij een elektron horen, bepalen diens golffunctie, en dus ook de waarschijnlijkheid waarmee we dat elektron in een bepaalde zone rondom de atoomkern te vinden is. Een orbitaal is nu die zone, waar we het betrokken elektron kunnen terugvinden in 95% van de gevallen.

 

Vorm en oriëntatie van verschillende orbitalen. Van boven naar beneden zien we de (enige) s-orbitaal (een bolvorm, die slechts één oriëntatie kent),
de drie p-orbitalen, die zich langsheen de drie hoofdassen van de ruimte leggen, de vijf d-orbitalen (met complexe vormen)
en de nog complexere f-orbitalen, waarvan er zeven vormen bestaan. Zijn er nog meer orbitalen? Theoretisch wel:
verdere ontwikkeling van de Schrödingervergelijking voor elektronen in een atoom levert nog g-orbitalen (9 varianten) enzovoort…
In de praktijk hebben we echter nog geen enkel atoom ontdekt waarbij andere vormen en oriëntaties een rol spelen.

Bron: haade, Wikimedia, CC BY-SA

 

Twee elementen zijn er nog nodig om het verhaal rond te maken. Om te beginnen bleek er nog een vierde kwantumgetal te bestaan: het spinkwantumgetal s, voorgesteld door George Uhlenbeck, Samuel Goudsmit en Ralph Kronig. Dit getal kan twee waarden aannemen: 1/2 of -1/2. Het komt intuïtief overeen met hoe een elektron in een orbitaal rond zijn as draait. Het spinkwantumgetal zou de oplossing bieden voor de nog ontbrekende verklaring van een deel van het Zeeman-effect.Samen met de drie andere kwantumgetallen vormt het spinkwantumgetal een set van vier getallen waarmee de toestand van een elektron rond een atoomkern volledig mee beschreven kan worden. En dat leidt dan meteen tot het tweede element.

 

Eerder beschreven we hoe het magnetisch kwantumgetal m de oriëntatie van de ellipsbanen (nu orbitalen) van Sommerfeld bepaalt.
Deze figuur geeft aan hoe het vierde kwantumgetal aansluit op dat magnetische kwantumgetal.
Bron: Maschen, Wikimedia, Publiek domein

 

In 1925 komt de Oostenrijkse fysicus Wolfgang Pauli namelijk tot het besef, dat elk elektron in een atoom een unieke set kwantumgetallen bezit. Dit concept heet nu het exclusieprincipe van Pauli. Hij leidde dat af uit vele waarnemingen van het begin van de twintigste eeuw die alle stelden dat atomen en moleculen met even aantallen elektronen chemisch stabieler waren dan deze met oneven aantallen. Ook het Bohr-model hield hiermee al rekening: een van de aanvullingen die Niels Bohr nog maakte aan zijn oorspronkelijk model stelt, dat bepaalde even aantallen elektronen (2, 8 of 18) overeenkomen met stabiele, “gesloten” schillen. Het feit dat elke mogelijke toestand slechts éénmaal kan voorkomen, leidt tot de vaststelling dat elektronen in een bepaalde orde in een atoom voorkomen. Bovendien zitten deze elektronen geordend volgens energieniveau. In de lichtste atomen bevatten enkel de kleinste orbitalen (laagste kwantumgetallen) elektronen, en naarmate atomen groter worden (en meer elektronen bevatten), worden orbitalen met grotere kwantumgetallen actief. Elk nieuw elektron wordt toegevoegd aan telkens weer de volgende positie die openligt op een geordende lijst. Zo bouwen er zich in de grotere atomen systematisch energierijkere orbitalen op. Drie kwantumgetallen (n, l en m) bepalen daarbij in welke orbitaal een elektron zit. Doordat het vierde kwantumgetal s nog twee waarden kan aannemen, passen er in één orbitaal dus twee elektronen.

Nu lijkt dit wellicht een zeer abstract verhaal. Maar bekijk het even langs deze kant. Die opbouw, waarbij elektronen in grotere atomen in steeds energierijkere orbitalen terechtkomen, is het Leitmotiv dat uitmondt in een algemene organisatie van atomen en elementen in één overkoepelende tabel… het Periodiek Systeem. Mocht u nog niet overtuigd zijn van de kracht van de kwantummechanica, bedenk dan even het volgende. Halverwege de negentiende eeuw ontwerpt de Rus Dmitri Mendelejev een tabel die de toen gekende elementen zodanig ordent, dat elementen met gelijkaardige eigenschappen ook in mekaars buurt uitkomen in die tabel. Hij doet dat op basis van experimentele waarnemingen van het gedrag van atomen en verbindingen zoals die was vastgesteld in proefbuizen en retorten. De kwantummechanica komt, louter door berekeningen en theoretische beschouwingen, op exact dezelfde structuur uit. De basis van de chemie is daarbij steviger dan graniet.

Elektronen op hun plaats...  zijn we nu klaar met de structuur van de materie?

Met de orbitaaltheorie komen we zo aan het eind van de zoektocht naar de organisatie van de elektronen in een atoom. Niet dat die niet verder verfijnd is, maar dat zou ons hier te ver leiden. In de volgende aflevering maken we ons op om die kern verder te bestuderen, door er deeltjes op te schieten met steeds grotere energieën. Voor de eerste keer splitsen we een kern, en komen we tot de vraag of we nog verder kunnen gaan: zit er nog iets van onderliggende structuur in een proton. Ook krijgen we al een eerste glimp van de naoorlogse stortvloed van deeltjes en deeltjes van deeltjes...

Geplaatst door Geert op 13/05/2017 om 15:47