Afgeleiden 1: Eerste, tweede, derde, vierde... afgeleide?

De afgeleide. Een fundamenteel begrip in de wiskunde. Zo fundamenteel, dat het niet eenvoudig is om een juiste definitie te geven, die aan ieders smaak voldoet. Zelfs wiskundigen hebben verschillende manieren om afgeleiden te definiëren. William Thomson geeft er in zijn paper uit 1994 maar liefst 37 verschillende!

In een klassieke wiskundeklas komt meestal de meetkundige definitie naar boven: de afgeleide van een curve geeft ons de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan die curve. Is die curve een nette rechte lijn, dan verandert ook die afgeleide niet. Is de curve een bochtige kromme (de blauwe kromme op de figuur), dan verandert de afgeleide de hele tijd.

 

Vaak passen wetenschappers echter een tweede definitie toe, en gebruiken ze afgeleiden om uit te drukken hoe snel een proces verloopt. Het simpelste voorbeeld is een bewegend voorwerp: met een afgeleide drukken we uit hoe snel dat voorwerp van plaats verandert.

Die wetenschappers (en ingenieurs) zijn niet de enigen die willen weten hoe voorwerpen bewegen. Als het gaat over auto’s, wil ook de overheid dat weten.  Die gebruikt daarvoor twee methoden. De eerste is trajectcontrole. Met een eerste camera (die je nummerplaat herkent) weet men wanneer je op punt a passeert, en met een tweede wanneer je op punt b aankomt. Nemen we de afstand (Δs) tussen a en b, en delen we die door het tijdsverloop tussen de twee camerametingen (Δt), dan krijg je de gemiddelde snelheid v (*) die de wagen heeft aangehouden tussen die twee punten. Of zoals een handboek natuurkunde voor beginners dat dan zou schrijven:

(en daarbij staat die driehoek voor de Griekse hoofdletter delta, en betekent dan dat wat er achter die driehoek staat, aan het veranderen is). Δs betekent dan “verandering van positie” en Δt “verandering van tijd”.

Nu kan het gebeuren dat een wagen ergens langs dat traject even zeer snel heeft opgetrokken zodat zijn snelheid tijdens een korte periode veel te hoog was. Die gemiddelde meting met trajectcontrole is dan misschien niet in staat om die verkeersovertreder te vatten. De overheid kan daarom ook op welbepaalde plaatsen (plaats x op de grafiek) flitscamera’s zetten. Die zullen op een veel kortere tijdspanne meten (Δt wordt dan kleiner), waarbij de wagen natuurlijk ook een kortere afstand aflegt (Δs wordt ook kleiner). Toch krijgen we daardoor een nauwkeuriger beeld van de snelheid van die wagen op dat ene ogenblik. Kijk maar zelf - je ziet op de grafiek dat de groene lijn veel minder steil omhoog gaat als de rode lijn. De steilte van die rechten (of wiskundig gezegd, de richtingscoëfficiënt) komt overeen met de snelheid van de wagen: de gemiddelde snelheid tussen punten a en b voor de groene lijn, en de ogenblikkelijke snelheid op punt x voor de rode lijn. Het nadeel is dan natuurlijk dat je ofwel overal camera’s moet zetten, wanneer je alle overtreders wil vatten (en dat blijkt dan toch te duur en te onpopulair) – maar dat is een andere discussie.

Nu moet zelfs die camera de wagen zien bewegen over een kleine afstand, gedurende een korte tijd. Wiskundigen hebben dit idee echter verder uitgewerkt: in hun gedachten wordt die tijdsperiode kleiner en kleiner. Daarbij redeneren ze dat die tijdsperiode (in de noemer van de breuk in de formule) eigenlijk zo goed als nul wordt (ze zeggen dan dat Δt in de limiet, finaal, uiteindelijk gelijk zal zijn aan nul). Ze laten dit in hun geschreven formules merken door de grote delta te vervangen door een kleine d:

en we zeggen dan dat de snelheid de eerste afgeleide is van de verplaatsing in de tijd.

Van snelheid naar jerks en pops

Snelheid is één ding. Mensen die op jacht zijn naar een nieuwe auto, willen echter ook vaak weten hoe snel die wagen… van snelheid kan veranderen – optrekken en afremmen. Het ene is van belang voor wie eerder op zoek is naar een sportieve auto, het tweede voor wie wil weten hoe veilig het voertuig is. Als we dezelfde redenering toepassen als hiervoor, dan schrijven we de verandering van snelheid in de tijd als dv/dt, en dat noemen we dan de versnelling a (*):

De versnelling is de eerste afgeleide van de snelheid in de tijd. En omdat versnelling een afgeleide van een afgeleide is, zeggen we ook dat ze de tweede afgeleide is van de verplaatsing in de tijd:

Is dit nu een eindpunt? Zeker niet. We kunnen de redenering nog eens overdoen. Ook versnelling hoeft niet vlak te verlopen. De verandering van versnelling in de tijd voelen we als een schok of een jerk (symbool j). Houden we ons aan de formulering van hierboven, dan is de jerk de eerste afgeleide van de versnelling, de tweede afgeleide van de snelheid en de derde afgeleide van de verplaatsing:

En zelfs dan kunnen we verder redeneren. De verandering in jerk is de jounce of de snap (beide termen worden samen gebruikt), en dat is dan de vierde afgeleide van de verplaatsing. De vijfde afgeleide is de crackle, en de zesde is de pop. Deze drie laatste worden geen van alle vaak gebruikt… tenzij dan door een bepaald merk van ontbijtgranen.

Snap, Crackle en Pop, de drie mascottes van Rice Krispies. Zeg nu nog eens dat wetenschappers geen fantasie hebben.
Bron: https://www.kelloggs.co.uk/en_GB/products/rice-krispies.html, copyright © Kellogg Company.

 

Jerk en snap in de praktijk

Nu lijkt het misschien alsof die derde en hogere afgeleiden nutteloos zijn en enkel dienen als een soort bezigheidstherapie voor wetenschappers. Nochtans is niets minder waar. En daarvoor halen we er even Sir Isaac Newton bij. In 1687 publiceerde deze Engelse wetenschapper een van de hoekstenen van de hedendaagse mechanica: zijn Principia (voluit Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica oftewel de Wiskundige Beginselen van de Natuurfilosofie), waarin de man zijn beroemde drie wetten uiteenzet:

I. Een voorwerp waarop geen enkele kracht werkt blijft in rust of blijft zich voortbewegen met een constante snelheid (de traagheidswet).

II. Wanneer een kracht inwerkt op een voorwerp, dan verandert de impuls van dit voorwerp evenredig met die kracht. Vermits impuls p het product is van de massa m van dat voorwerp en zijn snelheid v, kunnen we dat schrijven als

Wanneer de massa van dat voorwerp niet verandert door die kracht, wordt deze vergelijking vereenvoudigd tot:

III. Voor elke actie van een kracht ontstaat er een tegenkracht (de reactie) die even sterk is als de actiekracht, maar optreedt in de tegengestelde richting. Als ik op straat loop, duw ik met mijn voet op de straatstenen, en duwen die straatstenen met een even grote kracht terug, zodat ik word voortgeduwd.

 

De bladzijde uit de Principia die de eerste en de tweede wet beschrijft. Publiek domein.

 

Die tweede wet legt meteen de link met de definitie van jerk. Als een constante kracht een constante versnelling oplegt, dan zal een verandering van die kracht ook zorgen voor een verandering van versnelling… en dat is de jerk.

Voelen we dat dan ook? Zeker. De jerk wordt bijvoorbeeld gemeten om in te schatten hoe comfortabel passagiers zich voelen wanneer hun voertuig optrekt. De verschillende spieren in ons lichaam houden mekaar immers normaal gesproken in evenwicht. Veranderen de krachten op dat lichaam echter te snel, dan kunnen onze spieren zich niet onmiddellijk mee aanpassen, en verliezen we de controle over onze houding en positie. Denk maar hoe een schok bij een botsing met de wagen kan leiden tot een whiplash! Een te hoge jerk hoeft daarbij zelfs niet eens gevaarlijk te zijn. Te veel schudden en schokken maken van een reis al snel een onaangename, oncomfortabele ervaring. Schokken kunnen ook ongewenste trillingen in voertuigen veroorzaken en zo schade toebrengen aan dat voertuig zelf. Ingenieurs doen daarom de nodige moeite om dit te vermijden op liften, trams en andere transportmiddelen te minimaliseren. De meeste mensen vinden bijvoorbeeld een jerk van 2 m/s3 draaglijk bij een ritje met een lift, maar 6 m/s3 zeker niet meer. Bij het ontwerpen van een trein zullen ingenieurs jerk proberen te beperken tot 2 m/s3. In een ziekenhuislift probeert men jerk te beperken tot 0,7 m/s3.

Wat “te snel” is, hangt overigens af van de fysiologie van elke mens apart. Bovendien hangt het er ook van af of we jerk verwachten: “brace yourself” (een zin die wel eens voorkomt in een actiefilm waarbij de helden door mekaar geschud gaan worden) betekent dat je schokken te verwachten hebt, en daardoor zullen je hersenen sneller de controle over je lichaam herwinnen na de schok.

 

Brace yourself! (publiek domein)

 

 

Afgeleiden van geluid

Niet alleen beweging van voorwerpen wordt bestudeerd met afgeleiden. Nemen we bijvoorbeeld geluid (en daarvoor zullen we even uitweiden over wat geluid juist is)

Op de keper beschouwd bestaat geluid uit trillingen op microscopische schaal die via lucht, water of een ander medium worden doorgegeven. Meestal gaat het om luchtdeeltjes die beginnen te trillen, maar ook andere vormen van materie (zoals water, metaal of hout) kunnen geluid doorgeven. Geluidstrilling ontstaat doordat een trillend voorwerp (stembanden, een trommelvel, een snaar, een stemvork) de moleculen in de lucht er rond in beweging zet: daardoor verandert de lokale luchtdruk. De betrokken moleculen botsen weer op andere moleculen, die mee beginnen te trillen, en zo ontstaat er een zich voortplantende geluidsgolf. Opgelet: de moleculen blijven zelf op hun oorspronkelijke plaats (en trillen daar heen en weer). Wat zich wel verplaatst, is de energie die nodig is om moleculen in beweging te zetten: er beginnen telkens nieuwe moleculen te trillen.

 

De fysica noemt deze geluidsgolf longitudinaal. Dat wil zeggen dat de beweging van de individuele moleculen (hun uitwijking) evenwijdig is aan de voortplantingsrichting van de golf. Door het heen en weer trillen van de moleculen ontstaan er lokale zones waar er meer moleculen zijn dan normaal (waar de lucht denser is en waar er dus een hogere druk heerst), en zones waar er minder moleculen zijn (waar de lucht ijler is, met een lagere druk). De grootte van de luchtdrukwijzigingen (de geluidsdruk) noemen we de amplitude van de geluidsgolf – zeg maar, hoe hard een geluid klinkt.

Een golf wordt niet alleen bepaald door zijn amplitude (dB), maar ook door zijn frequentie. Hoe hoger de frequentie, hoe hoger de toon die je hoort. Het menselijk oor kan tonen horen tussen 20 en 20 000 hertz (Hz, waarbij 1 Hz gelijk is aan één trilling per seconde). Die frequentie is omgekeerd evenredig met de golflengte op de figuur hierboven: hoe langer de golflengte, hoe lager de frequentie van een geluid. Lagere tonen noemen we infrasoon; boven de 20.000 hertz spreken we van ultrageluid of ultrasone trillingen. Die bovengrens hangt sterk af van de leeftijd: jongeren horen beter hoge tonen dan ouderen.

 

SONAR (een afkorting voor sound navigation ranging) is een techniek die geluidspulsen onder water gebruikt om een koers uit te zetten aan boord van een schip of onderzeeër, om voorwerpen rondom in het water te detecteren om om met andere schepen te communiceren. Er bestaan twee grote soorten toepassingen: passieve sonar luistert enkel naar het geluid rondom het vaartuig; actieve sonar zendt pulsen van geluiden uit (de “ping”) en luistert naar de reflectie ervan.

 

Geluid wordt in sommige gevallen gebruikt voor metingen of voor alternatieve vormen van communicatie. Een voorbeeld hiervan is sonar (zie figuur). Hierbij zendt men een toon uit, en laat men geleidelijk aan de toonhoogte veranderen. Die verandering van toonhoogte (de eerste afgeleide in functie van de tijd) is de chirp (en in het Nederlands zou dat ook de tjilp kunnen heten). En ook hier kan die chirp zelf veranderen volgens een bepaald patroon. Voor de ene toepassing van geluidsgolven blijft de chirp constant (en verandert de frequentie van de uitgezonden geluidsgolven volgens een vast rechtlijnig patroon), voor andere zijn de frequentieveranderingen ingewikkelder.

 

Op Wikipedia staan twee voorbeelden van chirp – een rechtlijnig of lineair veranderende (wat overeenstemt met de figuur links) en een exponentieel veranderende geluidspuls (wat overeenstemt met de figuur rechts).
Zet je geluid niet te hard!
Bron: links: Georg-Johann, Wikimedia, CC BY-SA 3.0; rechts:L Omegatron, Wikimedia, CC BY-SA 3.0

 

Afgeleiden in de biologie en de politiek

Om af te sluiten kijken we even over het muurtje van de fysica heen. Ook in andere takken van de wetenschap komen afgeleiden voor. Scheikundigen drukken de snelheid van een reactie uit als de verandering in de concentratie van de stoffen die aan het reageren zijn… en veranderingen, dat zijn afgeleiden.

Biologen gebruiken dan weer vaak de logistische vergelijking. Die beschrijft hoe een populatie (die bestaat uit N organismen) groeit in de loop van de tijd afhankelijk van hoeveel organismen er maximaal in een bepaald gebied kunnen leven (Nmax, de draagkracht van dat gebied) en van de snelheid r waarmee ze zich kunnen voortplanten.

De vergelijking ziet er ingewikkeld uit, maar we gebruiken ze voor onderzoek naar de groei en de verspreiding van ziektekiemen, in de natuurbescherming en zelfs wanneer we het hebben over de menselijke overbevolking op de planeet.

In de economie kennen we termen als inflatie: de mate waarin de waarde van ons geld verandert in de loop van de tijd. Inderdaad, ook een afgeleide. Wanneer economen zeggen dat die inflatie toeneemt of afneemt, beschrijven ze eigenlijk de verandering van een verandering, en dat noemden we hierboven een tweede afgeleide. Er is zelfs een beroemde uitspraak van Richard Nixon, president van de Verenigde Staten tussen 1969 en 1974. Toen hij campagne voerde voor een tweede ambtstermijn in het Witte Huis, kondigde hij aan dat zijn economische politiek had geleid tot een verlaging van de toename van de inflatie. Dat leidde toentertijd tot de terechte opmerking… dat dat de eerste keer moet geweest zijn dat een presidentskandidaat zich bediend had van een derde afgeleide!

 

President Richard Nixon, 37ste president van de Verenigde Staten.
Bron: Department of Defense. Department of the Army. Office of the Deputy Chief of Staff for Operations. U.S. Army Audiovisual Center. Publiek domein.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, hier te vinden op Spotify.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting

Geplaatst door Geert op 16/12/2019 om 19:15